О.Б. Станишевский: "Актуальная бесконечность сущес

Тема в разделе "Флейм", создана пользователем Admin, 29 апр 2006.

  1. Admin

    Admin
    Expand Collapse
    Administrator

    Репутация:
    1
    Регистрация:
    26.01.04
    Сообщения:
    547
    Симпатии:
    1
    В этом топике можно оставлять свои комментарии к статье О.Б. Станишевского: "<a href="http://filosofia.ru/70642/" target="_blank">Актуальная бесконечность существует и является непротиворечивой</a>". Данная статья является откликом на полемический ответ на наши статьи "Апология Бесконечности". В ней приводятся онтологические и логические основания непротиворечивого существования актуальной бесконечности.
     
  2. Captious

    Captious
    Expand Collapse
    Известная личность

    Репутация:
    25
    Регистрация:
    29.07.07
    Сообщения:
    3.644
    Симпатии:
    25
    В статье «Апология Бесконечности»  автор пишет, что «…вся известная теория бесконечных множеств основывается на аксиоме бесконечности Дедекинда: множество является бесконечным, если и только если оно имеет собственное подмножество, в которое взаимно однозначно отображается  данное множество».
    А вот в обсуждаемой здесь статье «Актуальная бесконечность существует и является непротиворечивой» он говорит уже, что «эта аксиома объявляет бесконечными такие множества, которые имеют собственные подмножества, эквивалентные, или равные, самим множествам».
    Посмотрим, в чём состоит разница между отображением и равенством множеств.

    Как известно, в теории множеств  равными считаются множ-ва, состоящие из одинаковых элементов.  Одинаковые элементы по определению считаются неотличимыми, поэтому каждый элемент множ-ва входит в него в единственном экземпляре.
    Различные  элементы какого-либо множества имеют и разные имена.  Процедура пересчета  элементов множ-ва  по существу  есть присвоение каждому элементу множества некого уникального имени-номера.    В случае  конечных множеств   пересчет  всегда заканчивается  присвоением номера  некоторому «последнему» элементу множества.  Таким образом, конечные  множ-ва можно сравнивать по номерам  их  последних элементов.
    В  бесконечных  множествах  никаких «последних» элементов нет в принципе.  Для сравнения  «объема»  таких множеств вместо счета  применяется процедура  взаимно однозначного соответствия (отображения).  Если такое 1-1 соответствие между элементами двух множеств установить можно, то множества считаются равномощными.  
    Выделим из бесконечного множ-ва  натуральных чисел N  подмнож-во четных чисел и  установим между его элементами и элементами всего множ-ва N
    1-1 соответствие по правилу   2n <--> n    
    Как мы видим, в подмнож-ве  четных  чисел  отсутствуют некоторые элементы(нечетные числа),  которые есть во всём  множ-ве N.
    Т.е., так же как и в случае конечных множеств, «часть» входит в состав «целого»
    и  «не равна» целому.  
    Но наша  процедура   «пересчета»  элементов  бесконечного множества этот факт «качественной неэквивалентности»   множеств  не отражает:  вместо отсутствующих  элементов   номера-имена  получают  «следующие» за ними  элементы, которые в силу отсутствия «последнего элемента»  всегда  находятся.  
    Таким образом, решение «парадокса»  бесконечных множеств – «часть равна целому»  связано   с выбором критерия  «равенства» множеств.
    С содержательной точки зрения  бесконечное подмнож-во  четных чисел неэквивалентно  всему  множ-ву, так как  элементы этих множеств  разные по свойствам. А вот с точки зрения 1-1 соответствия  эти множ-ва эквивалентны, равномощны.  

    Об этой проблеме хорошо написал  В.Я. Перминов в работе
    «АПРИОРНОСТЬ И РЕАЛЬНАЯ ЗНАЧИМОСТЬ ИСХОДНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ МАТЕМАТИКИ».

    <<Дело в том, что онтологические структуры мышления сами по себе не задают нам полной системы исходных понятий математики и окончательное установление математических теорий связано с некоторыми субъективными установками, которые не имеют онтологического оправдания.  Представление об абстрактной арифметической единице и о совокупности единиц как некоторой мысленной целостности несомненно диктуется представлением об идеальном предмете и совокупностях таких устойчивых и независимых друг от друга предметов. Но при установлении системы операций, задающих математическую структуру, мы имеем несколько вариантов, которые не противоречат общему предметному видению. Если мы делаем главным для себя момент пересчета, связанного с перебором такого рода реальных или мысленных совокупностей, то мы отождествляем количество предметов с количеством необходимых операций и полностью отвлекаемся от разделения предметов по совпадению или несовпадению их качеств. На этом предельно абстрактном уровне понимания единицы мы получаем операцию арифметического сложения и все остальные операции арифметики. Если же мы делаем значимым для себя разделение предметов на тождественные и нетождественные, то мы приходим к операции теоретико-множественного объединения, при которой прибавление предметов, тождественных уже содержащимся во множестве, не изменяет этого множества. Мы можем сказать, что арифметика и теория множеств возникли на одной и той же онтологической основе, но в различных интенциональных установках и мы должны признать, что выбор между этими установками не предопределен однозначно предметной онтологией.>>
     
  3. Captious

    Captious
    Expand Collapse
    Известная личность

    Репутация:
    25
    Регистрация:
    29.07.07
    Сообщения:
    3.644
    Симпатии:
    25

    (Станишевский О.Б. @ Принцип «часть м.быть равна целому»)
    Этот принцип, а вместе с ним и аксиома Дедекинда находятся в явном противоречии с классической логикой. Поэтому она и ее эквиваленты должны быть устранены из оснований математического знания.
    Как  мы выяснили (см. выше), в случае бесконечных множеств   принцип «часть не равна целому» нарушается из-за того, что операции  выделения части из целого множества и  «пересчета»  элементов  бесконечных множеств  дают  разный результат по причине принципиального отсутствия в них т.назыв. «последнего элемента».   Отсутствующий  элемент  является как бы «резервом», из которого черпаются недостающие  номера-имена при установлении эквивалентности множеств.  
    Решение этого «парадокса» , которое предлагает  Станишевский О.Б. , лично мне представляется весьма  сомнительным. Например, он предлагает признать, что счетное множ-во N является конечным.  К этому вопросу мы ещё вернемся, а пока , поскольку феномен «бесконечность» практически всегда изучается посредством бесконечных собраний или классов некоторых объектов, вспомним, что говорил о бесконечности сам основатель «наивной» теории множеств.
    «О различных точках зрения на актуально бесконечное»
    [Кантор Г. Труды по теории множеств. – М.Наука, 1985.]

    «Несмотря на существенное различие понятий потенциальной и актуальной бесконечности, - притом первая означает переменную конечную величину, растущую сверх всяких конечных границ, а последняя - некоторое замкнутое в себе, постоянное, но лежащее по ту сторону всех конечных величин количество, - к сожалению, слишком часто встречаются случаи смешения этих понятий».

    «Потенциальную бесконечность (П.Б.)
    имеют в виду тогда, когда речь идет о неопределенной переменной конечной величине,которая или растет сверх всяких конечных границ( в таком виде мы можем представить себе, например, так называемое время, отсчитываемое с некоторого начального момента) или убывает ниже всякой конечной границы малости(что,например, является законным представлением т.назыв-го дифференциала). Более общим образом я говорю о П.Б. всюду там, где рассматривается неопределенная величина, которая может принимать бесконечно много значений.
    Под  актуальной бесконечностью ( А.Б.) следует, наоборот, понимать такое количество, которое с одной стороны не изменчиво, а, скорее, фиксировано и определенно во всех своих частях, является подлинной константой, а с другой – в то же время превосходит по величине всякую величину того же рода. В качестве примера приведу комплекс, совокупность всех конечных целых положительных чисел. Это множество есть некоторая вещь для себя и оно образует, если полностью отвлечься от естественного следования принадлежащих ему чисел, - некоторое неизменное во всех частях и определенное количество…, которое, очевидно приходится назвать большим, чем всякое конечное количество».
     
  4. Captious

    Captious
    Expand Collapse
    Известная личность

    Репутация:
    25
    Регистрация:
    29.07.07
    Сообщения:
    3.644
    Симпатии:
    25
    Итак, существование бесконечности  в форме П.Б.  понимается как возможность  бесконечного изменения, выражаемого  через наращивание  «числа»   элементов некоторой совокупности или множества.  Сам способ мыслить о множествах исходит из того, что элементы, из которых собирается множ-во, заранее четко определены и реально существуют ещё до их объединения во множество. В П.Б. имеется неограниченный запас элементов и для каждого  из них найдется  непосредственно следующий за ним элемент, т. е.  «последнего элемента» П.Б. не содержит и  никаких «границ»  она не имеет.

    А.Б. понимается как бесконечная совокупность, построение которой завершено и элементы которой представлены одновременно. В данном случае действует принцип теории систем - «целое мыслится как многое». Предполагается, что существование целого дает возможность проводить расчленение, выделение  в целом частей. Подлинной реальностью в данном  подходе является целое, а элементы его представления как многого не вполне детерминированы свойствами системы и порой зависят от «взгляда» наблюдателя.
    С учетом сказанного, представление о П.Б. ближе к теории множеств, а
    представление бесконечности в форме А.Б. связано с системным подходом.
    В П.Б. имеется неограниченный запас элементов, а в А.Б. имеется потенциальная возможность неограниченного членения  некоторого целого на части.


    Задание А.Б. – это установка внешних границ области, в пределах которой можно искать составляющие её элементы.   Но расчленяя А.Б.  как единое целое ,   мы каждый раз  вместо неделимых далее  "элементов"  получаем некоторое разбиение  на части, в пределах которых можно находить ещё более  «мелкие»  части.  Это подтверждается  практикой применения т.наз. диагонального метода Кантора  для доказательства несчетности множеств мощности континуума.   Счетная бесконечность есть П.Б., в которой  между  любыми двумя элементами  нет  «промежуточного»  элемента.  Когда  элементы счетного  множ-ва  сопоставляются  с элементами какого-либо разбиения  А.Б., то 1-1 соответствия  не наблюдается именно потому, что в А.Б. между любыми двумя элементами разбиения  есть  «промежуточный».

    В статье  Станишевского О. Б.  мы находим  мысли, сходные по смыслу со сказанным  выше.

    Пятое. Истинной бесконечностью является онтологическая бесконечность Единого. Наиабстрактнейшим эйдосом Единого является бесконечная в обе стороны геометрическая прямая – одномерный континуум. Одномерный континуум – это все одномерные пространственные отношения. Вся сущность одномерного континуума, величинная и до-величинная, есть онтологическая бесконечность «о¤о». Этим самым символу о¤о вместо размытого и нечеткого смысла придается вполне определенный смысл – смысл истинной онтологической бесконечности. Истинная бесконечность о¤о одномерного континуума – это первое онтологическое основание познания бесконечного. [...]
    Шестое.Вторым, и последним, онтологическим основанием познания бесконечного является конечный единичный отрезок «е°» одномерного континуума.
    Онтологическая бесконечность о¤о является общей мерой познания Всеединого Сущего, в том числе и любых математических объектов. Конечная единичная величина
    е° является антропоцентрической мерой познания всего сущего.
    Седьмое.Начальным актуальным бесконечным множеством или начальной теоретико-множественной бесконечностью является отношение всей бесконечной сущности континуума о¤о к его единичной величине е°. Это отношение есть и отношение измерения континуума, и отношение его разбиения. Оно определяет количество отрезков е° в континууме о¤о. Равно это количество начальному бесконечному числу W: W = о¤о / е°. Множество всех отрезков данного разбиения континуума есть актуальное множество.
    Как видим,  у автора статьи  единичный отрезок е° представляет собой некий символ критерия, по которому производится  разбиение  единого на части.
    В зависимости  от «взгляда» наблюдателя т.е.  от выбранной им  величины единичного отрезка  е° получаются разные «бесконечные числа W».
    Что касается  выбора е°,  мне кажется, в статьях  Станишевского О.Б., посвященных проблеме бесконечности, на этот счёт намешано много мистики ( выделение  правого и левого края у безразмерной математической точки и т.п. ).
     
  5. KSN

    KSN
    Expand Collapse
    Известная личность

    Репутация:
    8
    Регистрация:
    29.06.10
    Сообщения:
    4.306
    Симпатии:
    8
    Из топика «Значение философии для естествознания»
    Не знаю, какие вузы имеются в виду, но вот на мехмате днепропетровского универа теорему Кантора в общем виде о несуществовании сюръективного отображения множества на свой булеан еще как изучают!
    А вот еще одна критика критики Кантора в исполнении г-на Зенкина http://ru.philosophy.kiev.ua/library/math/koganov-zenkin.pdf
    И вот что собственно критикуется Станишевским и Когановым
    http://alexzen.by.ru/papers/vf1/vf-rus.html
    http://www.raai.org/about/persons/zenkin/
     
  6. Captious

    Captious
    Expand Collapse
    Известная личность

    Репутация:
    25
    Регистрация:
    29.07.07
    Сообщения:
    3.644
    Симпатии:
    25
    Ну, если у вас ещё как изучают Кантора, то , мабуть, могли бы и подробнее рассказать, что думают по поводу существования "актуальной бесконечности" и соображений О. Станишевского на её счёт... ;)
    А ссылки каждый может привести, даже не зная сути дела... :)
     
  7. KSN

    KSN
    Expand Collapse
    Известная личность

    Репутация:
    8
    Регистрация:
    29.06.10
    Сообщения:
    4.306
    Симпатии:
    8
    Не могу говорить за «всю Одессу», но вот личными соображениями поделюсь. Сразу скажу, что прямо как один герой булгаковского «Собачьего сердца», не согласен с обоими. Ни с Зенкиным, ни со Станишевским, в смысле. Надо взять всё и разделить... Понятия, в смысле.
    Ни коим образом это не ошибка! Если принимать за эквивалентность (или равность) мн-в существование биекции между ними, конечно. А потому во мн-ве четных чисел столько же элементов, сколько и во мн-ве натуральных.
    А теперь переходим к Зенкину. Из статьи «ТРАНСФИНИТНЫЙ РАЙ ГЕОРГА КАНТОРА: БИБЛЕЙСКИЕ СЮЖЕТЫ НА ПОРОГЕ АПОКАЛИПСИСА»
    Из статьи «О ЛОГИКЕ ДИАГОНАЛЬНОГО МЕТОДА КАНТОРА»
    В теореме Кантора действительно используется метод контрпримера в сочетании с методом док-ва от противного (обратного). И ничего противоестественного тут нет. Для примера давайте докажем, что не существует дроби p/q (p, q – нат. числа), квадрат которой равен 2. Предположим обратное. Понятно, что любая дробь может быть представлена как несократимая, тогда p^2 =2*q^2, где у p, q нет общих делителей. С другой стороны, если квадрат числа четный, то и само оно четное, а значит сущ. нат. число p’ такое, что p=2* p’, а значит 4*p’^2 = 2*q^2, отсюда q^2 = 2*p’^2. Аналогично приходим к выводу о четности числа q, т. е. сущ. нат. число q’ такое, что q = 2*q’, что противоречит предположению о несократимости дроби p/q. А теперь, внимание, вопрос: разве числа p’ и q’ не являются контрпримером, дедуцированным из опровергаемого общего утверждения о том, что сущ. дробь, а значит и сущ. её несократимое представление?
     
  8. Captious

    Captious
    Expand Collapse
    Известная личность

    Репутация:
    25
    Регистрация:
    29.07.07
    Сообщения:
    3.644
    Симпатии:
    25
    Ну и какие же понятия вы собираетесь взять и разделить? Вопрос-то был насчет существования "актуальной бесконечности", а вы вместо конкретного ответа развели тут "ликбез" ... с цитатками... :)
     
  9. KSN

    KSN
    Expand Collapse
    Известная личность

    Репутация:
    8
    Регистрация:
    29.06.10
    Сообщения:
    4.306
    Симпатии:
    8
    Разделить понятия существования "актуальной бесконечности" и различия бесконечных множеств по мощностям. Для счетного мн-ва бесконечность актуализируется любыми истинными утверждениями о ВСЕХ его элементах (обычно они доказываются методом мат. индукции). Г-н Зенкин (насколько я понимаю) представляет счетные мн-ва как потенциально бесконечные, что, на мой взгляд, совершенно неверно. Потенциально бесконечной следует называть некоторую конечную величину, пробегающую значения в некотором актуально бесконечном диапазоне. Кстати, если принять за аксиому существование только счетных мн-в, то из рассуждений в теореме Кантора будет просто следовать несуществование „мн-ва всех подмножеств” бесконечного мн-ва
     
  10. Captious

    Captious
    Expand Collapse
    Известная личность

    Репутация:
    25
    Регистрация:
    29.07.07
    Сообщения:
    3.644
    Симпатии:
    25
    Хотите сказать, что счетное множ-во может быть "актуальной бесконечностью" или что-то другое?... :unknw:

    Мда... уж... :D
    Это вы сами только что сочинили или где-то раньше "подсмотрели"? ;)
     
  11. KSN

    KSN
    Expand Collapse
    Известная личность

    Репутация:
    8
    Регистрация:
    29.06.10
    Сообщения:
    4.306
    Симпатии:
    8
    Я хочу сказать, что любое утверждение (теорема) о свойствах всех элементов счетного мн-ва (например, что у всех целых чисел есть простые делители) подразумевает именно актуальность бесконечности такого мн-ва. Логические парадоксы устраняются путём введения некоторых ограничений на само понятие «множество», а актуальность либо потенциальность его бесконечности ни при чем. Тут я согласен с г-ном Станишевским.
    Сочинил что? Что существуют аксиоматики, где возможны только счетные мн-ва? Конечно, не я! Запретить, например, любому мн-ву иметь в качестве элемента бесконечное мн-во – и не будет никаких несчетных мн-в! Вместо самих бесконечных мн-в можно рассматривать мн-ва формализированных правил (алгоритмов) их задания (порождения). Думаю, что всю практически значимую математику можно построить, используя только понятие счетного мн-ва, и тут я согласен с г-ном Зенкиным.
     
  12. Captious

    Captious
    Expand Collapse
    Известная личность

    Репутация:
    25
    Регистрация:
    29.07.07
    Сообщения:
    3.644
    Симпатии:
    25
    А он с вами нет! Вы статью-то читали... или как всегда?... ;)
    Чем же вам обоим несчетные множ-ва не нравятся? :unknw:
     
  13. KSN

    KSN
    Expand Collapse
    Известная личность

    Репутация:
    8
    Регистрация:
    29.06.10
    Сообщения:
    4.306
    Симпатии:
    8
    Как всегда, читал… Я с ним именно по 4-му пункту согласен, где он упоминает ограничение на понятие «множество»:
    По другим пунктам – нет. Мн-во всех нат. чисел не есть «предельное наибольшее конечное множество», а есть просто бесконечное мн-во, причем актуальность бесконечности проявляется в возможности формулировать и доказывать утверждения, истинные для всех нат. чисел.
    Во-первых, г-н Зенкин считает сущ. таких мн-в логически недоказуемым, усматривая якобы ошибку в «актуальности» бесконечности при использовании ДМК. Я же считаю, что при наложении соответствующих ограничений на понятие мн-ва (и на понятие д. ч.), формулировки типа «мн-во всех подмножеств бесконечного мн-ва» или «мн-во всех д. ч.» становятся некорректными, а значит и пропадает сам объект, несчетность которого доказывается.
    Во-вторых, при рассмотрении различия мощностей бесконечного мн-ва и его булеана возникает вопрос о существовании мн-в, промежуточных по мощности. При этом он не решается ср-вами самой АТМ. Таким образом, возможны взаимоисключающие аксиоматики, «признающие» и «не признающие» сущ. указанных мн-в. Мне думается, что фундамент математики (как и она вся) должен быть связан с физич. реальностью. И эта связь должна проявляется еще и в том смысле, что коль скоро нет альтернативных взаимоисключающих реальностей, то и не должно быть альтернативных взаимоисключающих математик.
     
  14. Captious

    Captious
    Expand Collapse
    Известная личность

    Репутация:
    25
    Регистрация:
    29.07.07
    Сообщения:
    3.644
    Симпатии:
    25
    А чем, по-вашему, "просто" бесконечное множество отличается от счетного и несчетного?

    Тут вы явно перемудрили, г-н "философ"!
    Не хотите ли пояснить подробнее, как вы видите эту самую связь математики с физической реальностью?... ;)
     
  15. KSN

    KSN
    Expand Collapse
    Известная личность

    Репутация:
    8
    Регистрация:
    29.06.10
    Сообщения:
    4.306
    Симпатии:
    8
    Про какую разницу вы спрашиваете, если я как раз счетные мн-ва и называю «просто» бесконечными? А если уж согласиться с тем, что в понятие бесконечного мн-ва обязательно должна входить формализированная схема (алгоритм) построения каждого его элемента путём конечного кол-ва операций над некоторым заданным (базисным) конечным мн-вом, то никаких несчетных мн-в попросту не существует.
    Каждое мат. понятие должно использоваться в теоретическом описании физ. реальности по принципу необходимости и достаточности, т. е. не должно быть лишнего и пробелов.
     
  16. Captious

    Captious
    Expand Collapse
    Известная личность

    Репутация:
    25
    Регистрация:
    29.07.07
    Сообщения:
    3.644
    Симпатии:
    25
    Неужели? Ну-ка, пересчитайте тогда множество действительных чисел, г-н "математик"... :D
    Мда... Это в вашем "универе" на мехмате так учат? Ну, ну... ;)
     
  17. KSN

    KSN
    Expand Collapse
    Известная личность

    Репутация:
    8
    Регистрация:
    29.06.10
    Сообщения:
    4.306
    Симпатии:
    8
    А какое именно мн-во д. ч. вас интересует? И кто вам вообще сказал, что д. ч. образуют мн-ва? Мн-ва образуют лишь формальные записи в заданном алфавите алгоритмов их вычисления. Мн-во синтаксически правильных записей этих алгоритмов будет подмножеством мн-ва всех возможных слов (конечных последовательностей символов) этого алфавита, а оно в свою очередь - счетное. Каким может быть подмножество счетного мн-ва, г-н «философ естествознания»?
    Кому нечего возразить по существу, остаётся только нукать. А для особо памятливых напомню, что пишу тут только и исключительно от своего имени.
     
  18. Captious

    Captious
    Expand Collapse
    Известная личность

    Репутация:
    25
    Регистрация:
    29.07.07
    Сообщения:
    3.644
    Симпатии:
    25
    Нехай будут "записи", г-н "математик"!... :rofl:
    Возьмите множество формальных записей, описывающих множество ДЧ отрезка [0,1], и постройте взаимооднозначное соответствие с множеством (синтактически правильных) записей, описывающих натуральный ряд чисел... ;)

    Вот и пишите от своего имени, а не ссылайтесь на "универы" и цитатки из Вики!... :)
     
  19. KSN

    KSN
    Expand Collapse
    Известная личность

    Репутация:
    8
    Регистрация:
    29.06.10
    Сообщения:
    4.306
    Симпатии:
    8
    А теперь объясните мне, тупому и беспамятному, что такое «множество ДЧ отрезка [0,1]»? Бесконечное мн-во не может быть несчетным, так как оно определяется (задаётся) только с помощью пересчета его элементов. Отрезок [0,1] не есть определением мн-ва.
    Во-первых, одно другому вовсе не противоречит. Во-вторых, на универ я сослался только лишь для опровержения утверждения о невхождении теоремы Кантора в вузовскую программу.
     
  20. KSN

    KSN
    Expand Collapse
    Известная личность

    Репутация:
    8
    Регистрация:
    29.06.10
    Сообщения:
    4.306
    Симпатии:
    8
    В-третьих, цитаток их Вики в этом топике я вообще не использовал. В-четвёртых, понятие бесконечного мн-ва (и д. ч. как частного случая), на мой взгляд, имеет смысл только в случае, когда определена общая процедура порождения каждого последующего элемента этого мн-ва из конечной совокупности (подмн-ва) уже порожденных. Очевидно, что это и будет по сути процедура пересчета. И не обязательно, чтобы в качестве такой схемы порождения выступала именно машина Тьюринга, алгорифм Маркова и т. д., как это принято в классическом конструктивизме. Важно, чтобы она имела хоть какую-то ясную логико-арифметическую формализацию. Формулировка «мн-во всех д. ч. от 0 до 1» не содержит такой схемы, а значит и не является определением (описанием) мн-ва как объекта для дальнейших рассуждений.